2階導関数

関数$y = f(x)$の導関数$y' = f'(x)$について, $f'(x)$が微分可能であったとする. このとき, $f(x)$は2階微分可能微分可能である.

また, $f'(x)$の導関数を$f(x)$の2階導関数と呼び, $f''(x)$で表す.

すなわち, $f''(x) = \lim_{Δx → 0} \frac{f'(x + Δx) - f'(x)}{Δx}$

例:

$y = \sin x$の導関数は$y' = \cos x$

$y = \sin x$の2階導関数は$y'' = -\sin x$

n階導関数

同様に, $f(x)$がn階微分可能であるとき$f(x)$のn階導関数が定義される. $f'''(x) = f^{(3)}(x)$

逆関数

$y = \sin x$の導関数は$y' = \cos x$ $y = \sin x$の2階導関数は$y'' = -\sin x$

関数$y = f(x)$が1価関数であるとき, $f(x)$の逆関数とは, $x = g(y)$を満たす関数である. 一般に, 独立変数を$x$, 従属変数を$y$で表すため, $y = f^{-1}(x)$と表記する.

$\sin^2 x$は$(\sin x)^2$だけど$\sin^{-1} x$は逆関数の表記だから$(\sin x)^{-1}$にはならないという話. ｢$-1$の場合だけ意味が変わるのですか?｣と質問したら, その通りのようです. ややこしい, 初めから$\sin^2 x$みたいな表記は使わずに, 累乗は累乗の表記に統一して欲しい. もしくは$\arcsin$を使えば良さそう.

$y = f(x)$が1価関数: 任意の$a, b$について, $a ≠ b$ならば, $f(a) ≠ f(b)$が成り立つ関数.

$y = x$は1価関数. $y = x^2$は$f(1) = f(-1)$のため1価関数ではない.

｢1価関数であるというのは単射であるというのと同じ意味ですか?｣と質問しました, 一緒だそうです. 写像の話をしているか定かではないので1価関数という名前を使ったそうです. 単射は知っていたけれど, 1価関数という言葉は初めて聞いた気がします.

逆関数の導関数

関数$f(x)$の逆関数を$f^{-1}(x)$とする. このとき, $f'(y) ≠ 0$ならば$y = f^{-1}(x)$は微分可能であり, $\frac{d}{dx}(f^{-1}(x)) = \frac{1}{f'(y)}$ または$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{1}{df}{dy}}$が成り立つ.

証明. $x = f(x)$の両辺を$x$で微分すると, 左辺は$1$, 右辺は合成関数微分を用いて$\frac{df}{dy} * \frac{dy}{dx}$ したがって, $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{df}{dy}}$

三角関数の逆関数の導関数

1. $(\sin^{-1} x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} (-1 < x < 1)$
2. $(\cos^{-1} x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} (-1 < x < 1)$
3. $(\tan^{-1} x)' = \frac{1}{1 + x^2} (-∞ < x < ∞)$

演習課題

$e × -3$って書いたら×に-が続くのはおかしいということで$e × (-3)$に直すことになりました. 数式のルールがわからない…

1の証明がうまく行かない, 2の証明をちゃんと理解していないからだろうか…